بطلان ما يسمى (دليل التطابق) فيما يتعلق باللانهاية

[بلال النجار]

بسم الله الرحمن الرحيم

قولك: (ذكرتَ في أكثر من موضع عبارة... : كون الزائد مساوياً للناقص، أليس سبب ذلك هو فرضية تساوي اللامتناهيات؟ كيف يمكننا أن نستعمل دليلاً يقوم جزئياً على أن اللامتناهيات متساوية في نفي وجود اللامتناهيات؟)

الجواب: الأكبر والأصغر والمساوي مدركات ببداهة العقل ومركوزة فيه. وكون الأكبر لا يساوي الأصغر أمر بدهيّ، فيستحيل أن يسلّم العقل بالتساوي بين ما حكم بتفاوتهما في الصغر والكبر. ولا علاقة لحكم العقل بعدم تساويهما بكونهما نهائيين أو غير نهائيين.
وبرهان التطبيق يا هيثم كما أرجو منك أن تلاحظه لا يفترض مسبقاً تساوي اللانهايات أو عدم تساويها. بل يسلم جملتين لانهائيتين من الحوادث يقر بهما الخصم، ويقول إنهما متفاوتتان في الطول بدليل البداهة وبما لا يستطيع الخصم إنكاره، ثم يبدأ بالتطبيق.
فما هي نتيجة التطبيق عند بدئه من نقطتين متفاوتتين:
إما أن السلسلة الأقصر والمعروف كونها الأقصر ببداهة العقل ستستغرق الأطول أو لا تستغرقها.

فإن استغرقتها كان الأطول مساوياً للأقصر. وهو منقوض ببداهة العقل. وإذا بلغنا في خطوات البرهان إلى تناقض عرفنا أن الفرض الذي فرضناه محال. ويكون القول الصحيح هو نقيض ما فرض صحيحاً. لأن النقيضتين لا تصدقان معاً ولا تكذبان معاً. فيعلم منه استحالة سلسلة لانهائية من الحوادث.

وإن لم تستغرقها فإن علة عدم الاستغراق ليست إلا انقطاع السلسلة الأقصر دون انطباقها بالكامل على السلسلة الأخرى. فيعلم أنها نهائية بخلاف فرضنا. هذا خلف يلزم منه نقيض الفرض.

وأيضاً السلسلة الثانية معلوم بالبداهة أنها تزيد بمقدار متناه في الطول عن السلسلة الأولى، والزائد على المتناهي بقدر متناهٍ فهو لا محالة متناهٍ. وهذا أيضاً يناقض الفرض. فيلزم استحالة الفرض.

والمشكلة عندك يا هيثم أنك تتصور أن برهان التطبيق فيه نوع مصادرة على المطلوب. والأمر ليس كذلك. بل هو يدلل على استحالة استغراق إحدى السلسلتين للأخرى بأدلة بدهية يسلمها الخصم، كتسليمه أن إحدى السلسلتين أطول من الأخرى. وتسليمه بأن الأصغر مطلقاً لا يساوي الأكبر. وهاتان المقدمتان ليستا نفس الفرض ولا نقيض الفرض الذي هو نتيجة القياس. فالقياس صحيح ولا مصادرة. وكون النتيجة مناقضة للفرض فهذا ليس من المصادرة في شيء. ونحن لم نستخدم هذه النتيجة في أي من المقدمات، بل مشينا في المقدمات مشياً صحيحاً فظهرت لنا نتيجة تناقض الفرض، فعرفنا أن الفرض محال.
وأرجو أن يكون هذا الكلام واضحاً مبيناً، ويحل الإشكالات التي عندك. وأريد أن أذكرك أن أصل كلامك كان في أن هذا البرهان يحتقر من لهم أدنى معرفة بالعلوم الرياضية....إلخ والآن الكلام قد اختلف. وعلى أي حال فقد أجبنا عن جميع ما أثرته من إشكالات. والله تعالى أعلم.
والحمد لله رب العالمين

[هيثم عبدالحميد حمدان]

كما ترى يا أخ بلال فإنني اضطررت لإعادة سؤالي ثلاث مرات لكي تفهمه قبل أن أحصل منك على إجابة. ولذلك فإن المناقشات الكتابية يصعب -في رأيي- إيصال المقصود منها. فلك أن تتصوّر مقدار عدم فهمك لكلامي من خلال كلامك الطويل جداً في مشاركتك قبل الأخيرة، ولذلك تجدني لا أردّ على كثير منه، وأحياناً لا أقوى على قراءته كله.

* يا أخ بلال بمجرد تسليم جملتين لانهائيتين من الحوادث فإن ذلك يقتضي أن هاتين المجموعتين متساويتان عند خصمك، وأنه لا يوجد تفاوت بين السلسلتين أصلاً، لأنهما لامتناهيتان، فليس هناك أكبر وأصغر من الأساس لكي نسلّم بعدم تساويهما. وأنت وخصمك تريان أن الامتناهيات لا يمكن لها أن تبقى لامتناهية إذا تفاوتت، فليس هناك أصغر وأكبر بالنسبة للامتناهيات أصلاً.

* ثم إن خصمك يعتقد بتساوي اللامتناهيات، فكيف له أن يسلّم لك بأن الأصغر لا يساوي الأكبر مطلقاً، أي: حتى في اللامتناهيات؟!

فدليل التطابق يا أخ بلال يقوم على ما يحاول نقضه. ومشكلتك هي أنك -لسبب ما- تتوهّم أموراً لا أصل لها في كلامي وتجيب عليها بكلام طويل. فأرجو منك أن تتريّث قليلاً وأن تسألني عن مقصودي إن رأيت أنني "لم أحسن التعبير" كما تزعم كثيراً ويظهر خطؤك في النهاية.

[بلال النجار]

والله يا هيثم ما أنت فاهم حاجة، اقرأ كلامي كله وافهم دليل التطبيق كما شرحته أنا، اقرأه أكثر من مرة وافهم مقدمات الدليل. ثم عد للكلام. فكل مشاركة تقوم بها تكشف عن عدم فهمك للدليل ولما أكتبه، وأنت تعترف أنك لا تقرأ كل ما أكته. فسبحان الله في أمرك ما أشد جهلك!

[هيثم عبدالحميد حمدان]

قمتُ بعرض هذه المسألة على بعض من يزعم التخصص فيها. وجوابه موجود في الأسفل بالانجليزية. وحاصله ما يلي:

* من الممكن تصوّر مجموعات لانهائية متعددة ويكون عدد عناصرها مختلف. (قلت: هذا هو قانون كانتور الذي سيأتي الكلام عليه، ويظهر منه أن عدم التطابق بين المجموعات اللامتناهية ممكن دون أن يقتضي ذلك انقطاعها أو تساوي المزيد مع الناقص).
* من الناحية الرياضية فإن المجموعة تكون لانهائية إذا أثبتنا إمكانية تطابق عناصرها مع عناصر أي مجموعة تحتويها. (قلت: هذا هو تعريف جاليليو للمجموعة اللامتناهية، وكون المجموعة الأولى محتواة في الثانية يوهم أنها أصغر منها والأمر ليس كذلك كما سيأتي).
* مثلاً مجموعة الأرقام الصحيحة (0، 1، 2، 3، ...) تعتبر لامتناهية لأنه من الممكن تطابق عناصرها مع عناصر مجموعة تحتويها مثل مجموعة الأرقام الطبيعية الزوجية وهي (0، 2، 4، 6، ...) والعلاقة بينهما مطردة وهي: الضِّعف.
* فالـ 0 يطابق الـ 0، والـ 1 يطابق الـ 2، والـ 2 تطابق الـ 4، وهكذا. (قلت: ونلاحظ هنا أن المجموعتين وإن كانتا متساويتين في عدد العناصر إلا أن الثانية محتواة في الأولى! وهو ما يسمى بـ "مفارقة جاليليو").
* غير أن الرياضي جرج كانتور أثبت إمكانية وجود مجموعة لامتناهية لا تتطابق عناصرها مع مجموعة الأرقام الصحيحة، دون أن يؤثر ذلك في كونهما لامتناهيتين. (قلت: يعني: إنه من الممكن وجود مجموعتين لامتناهيتين مختلفتين في عدد العناصر ولا تتطابق عناصرهما واحد إلى واحد).
* ثم نصحني بالبحث عن Cantors diagonal باستعمال محرك البحث المفضل لديّ في الشبكة.
هذا حاصل كلامه.

وبعد البحث عمّا نصحني به لعلي ألخص النتيجة:
* بالنسبة لجاليليو فإن كون مجموعة لامتناهية محتواة في مجموعة لامتناهية أخرى لا يعني أن تطابقهما سيؤدي إلى أن المزيد يساوي الناقص. بل إن المجموعة عنده لا تكون لامتناهية إلا إذا تطابقت عناصرها مع عناصر مجموعة أخرى لامتناهية محتواة فيها. فالمجموعات اللامتناهية متساوية العناصر عند جاليليو وإن كانت إحداهما محتواة في الأخرى، وهو ما حاولت تفهيمه لبلال مراراً، ولم أفلح.
* لكن الأمر الجديد عليّ هو أن: قانون كانتور يجيز عدم تساوي عدد عناصر المجموعات اللامتناهية من الأصل، والقانون نصه: ((لكل مجموعة لامتناهية س فإنها توجد مجموعة ص عدد عناصرها أكبر من س)). وبالتالي فإن عدم التطابق بين عناصر مجموعتين لا يعني وجوب كونهما متناهيين. فانتقض بذلك دليل التطابق، بل وانتقض وجوب تطابق كل مجموعة لامتناهية مع مجموعة الأعداد الصحيحة وهو ما كان يظنه جاليليو لازماً.
* وعليه فإن التطابق أو عدمه لا علاقة له بلانهائية المجموعات كما زعم بلال وأوهم القراء أنه إجماع الرياضيين!

فمن أين أُتيَ بلال؟ لقد أخطأ بلال بغض النظر عمّا إذا حاكمناه إلى طريقة جاليليو أو طريقة كانتور:
1) فصنيع بلال يخالف "مفارقة جاليليو" وتعريفه للامتناهيات، لأنه زعم أن تطابق مجموعتين لامتناهيتين إحداهما محتواة في الأخرى: يقتضى تساوي الزائد والناقص أو انقطاعهما، وهو تماماً عكس ما قرره جاليليو. وسبب الإشكال الذي أوقع بلال في هذا هو خلطه بين (التطابق) و (التساوي)، والصواب أن التطابق لا يلزم له التساوي.
2) ثم إن كانتور نقض لزوم تطابق عناصر اللامتناهيات من الأساس بقانونه، والحمد لله رب العالمين.

ومن خلال هذا الموضوع وموضوع الأخ (المحب لله) يبدو أن الأخ بلال بعيد عن المفاهيم العلمية الحديثية، وهو لازال يتخبّط في مفاهيم الفلاسفة القدامى والمفاهيم العلمية التي كانت سائدة في أوروبا في عصور الظلام.

وهذا نص رسالة هذا الرجل الرياضي لي:

Sun Feb 22, 2004 3:53 am

It is imaginable that different infinite sets of objects can have differing number of members (or different cardinalities).

Mathematically, a set is considered infinite if it can be placed in a one-to-one correspondence with a proper subset of itself. For example, the set of natural numbers [called N, comprising the integers 0, 1, 2, 3, ] is infinite because it can be placed in a one-to-one correspondence with the subset of N that contains only the members that are evenly divisible by two. Because for every member n of N, there exists a member n×2 within the subset (e.g. 0 to 0, 1 to 2, 2 to 4, 3 to 6, &c.), N is deemed to be infinite. Since there is a one-to-one correspondence between N and the subset, both N and the subset have the same number of members the same cardinality. The cardinality of N is known as aleph null that is, the Hebrew letter aleph followed [left-to-right] by a subscript zero. This represents the smallest infinity.

The mathematician Georg Cantor showed that the set of real numbers [called R, comprising all rational numbers and all irrational numbers] has more members (a greater cardinality) than N, which demonstrates two differently sized infinities. Look for Cantors diagonal in your preferred search engine for the reductio ad absurdum argument.

وهذه بعط الروابط التي تتحدّث عن قانون كانتور:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantors_Diagonal_argument
http://students.bath.ac.uk/ma2trac/cardinality.html
http://www.mathacademy.com/pr/minitext/infinity/

والله أعلم وصلى الله وسلم على نبينا محمد وآله وصحبه.

[جلال علي الجهاني]

سبحان قاسم العقول ..

[بلال النجار]

بسم الله الرحمن الرحيم

يا هيثم،
قبل أن أبين ما وقعت فيه من سوء فهم وخبط، أريدك أنت ومن أحببت من رياضيي العالم أن تجيبوني عن الأسئلة التالية:

أولاً: هل هنالك في الرياضيات شيء اسمه تساوي مجموعات أو لا؟ وإذا كان هنالك هذا المبدأ فمتى تكون المجموعتان متساويتين؟
ثانياً: هل مجموعة الأعداد الطبيعية ط = ط؟
ثالثاً: هل عدد عناصر ط = عدد عناصر ط؟
أجبني عن هذه الأسئلة وعندها ستتبين كيف يمكن إثبات مبدأ التطبيق رياضياً؟
وبالمناسبة قل لصاحبك الرياضيّ إن الصفر لم يعد يعده الرياضيون عدداً طبيعياً!

[هيثم عبدالحميد حمدان]

دعنا من كل هذه الأسئلة ولا تتهرب يا بلال. ولو كنتَ منصفاً لنظرت في كلامي جيداً:

قانون كانتور يثبت أن المجموعات اللامتناهية يمكن أن تكون مختلفة في عدد العناصر. ومفارقة جاليليو توجب تساوي المجموعات اللامتناهية في عدد العناصر وإن كانت إحداهما محتواة في الأخرى، يعني أن تطابق مجموعتين لامتناهيين ممكن وإن كانت عقولنا لا تتصور تساويهما، ولا يلزم من ذلك تساوي الزائد مع الناقص لأن التطابق والتساوي أمران مختلفان ... وهو ما حاولتُ إقحامه في رأسك الفولاذي لمدة تزيد عن الأسبوعين دون فائدة.

فلماذا لا تتنازل عن كرسيك العالي وتنظر بإنصاف في قانون كانتور ومفارقة جاليليو ولو لمدّة ساعة واحدة يا بلال ثم تخبرنا: هل بقيت أي مصداقية لقانون التطابق؟

هذا هو موضوعنا، فإن كان لديك كلام (ولا أظنه قد بقي لك كلام) فاكتبه واشرحه دون أن تكثر من الأسئلة. أما أن تتحذلق وتسألني عن ط وعن الصفر ثم يتحول الموضوع إلى نقاش عن ط وعن الصفر فليس من آداب الحوار التي دوشتنا بالكلام عنها.

[بلال النجار]

بسم الله الرحمن الرحيم،

أيها الجاهل المكابر، حاول فقط أن تفهم،

قلت لك سأجيبك عن كل ما جاء في رسالتك بالتفصيل، ألم أقل ذلك، وقلت لك سأبين لك ما وقت فيه من تخبّط، فلماذا تستعجل، هل وعدتك بشيء ولم آت به على أحسن الوجوه من قبل.

أنا فقط أسألك ثلاثة أسئلة واضحة، بما أنك علاّمة عصرك وبلغ بك الحال أن استشرت من وصفته بأنه متخصص في الرياضيات. أجبني على أسئلتي. هل تستطيع الإجابة عنها أم لا تستطيع. وحين تجيبها سأجيبك بالتفصيل عما أودعته في رسالتك من تخبطات أيها الجاهل.
وليس مثلي من يهرب من الحوار والجواب كائناً من كان من يحاورني لأني إذا كنت مخطئاً فإني أمتلك الشجاعة الكافية لأن أعترف بغلطي، فلماذا أهرب وأتهرّب؟!!!!!!!

[هيثم عبدالحميد حمدان]

ألا يمكنك أن تشرح وجهة نظرك دون أن تسألني يا هذا؟! هل عندك عقدة نفسية توجب عليك السؤال؟! أم أنك تريد أن يتحوّل النقاش إلى ط والصفر؛ أيها المراوغ المتقن للف والدوران؟! ثم لماذا غضبت عندما لم أجبك! هل هدفك هو أن توقعني في جواب خاطئ؟! نعوذ بالله من سوء النية! أم أن نُقولي في موضوع خلق القرآن أوجعتك؟!
إذا كانت ط لا تساوي ط أو تساويها فلماذا لا تقول ذلك ثم تبيّن وجهة نظرك؟! ... لن أجيبك وافعل ما بدا لك ... يا من تتعذر مرة بأن كتبك ليست بين يديك ومرّة بأنك تنتظر إجابتي!

[بلال النجار]

بسم الله الرحمن الرحيم

أنت لن تجيبني لأنك أجهل من أن تجيب، وأنا أقول لك إن هذه مقدمة مناظرة صغيرة أصل بها إلى تحقيق وإثبات برهان التطبيق عن طريق السؤال والجواب، فإن كنت تطلب الحق فامش معي وأجبني، وإن كنت لا تريد الحق، وهذا هو الظتهر من حالك، فلا بأس، أعلن انهزامك.

ثمّ بأيّ سلطة أنت تسأل دائماً ونحن نجيب. والله لأن أجبتني ومشيت معي لأرينك كيف يبطل كلّ كلامك. وأنا كما وعدت سأثبت لك أنني في واد وكلامك وكلام صاحبك الرياضيّ في واد آخر، ولا يقدم ولا يؤخر ولا يفيد في إبطال دليل التطبيق.

ولكنك تخشى ان تدخل في مناظرة تنبني على السؤال والجواب، لأنك لا تقدر أن تدخل فيها، ببساطة لأنك تتكلم في الرياضيات وأنت بها جاهل. وإلا ماذا يضيرك لو كنت تطلب الحق أن تجيبني وتتماشى معي وتجيبني على أسئلة سهلة، ليس مقصودها حرف الكلام عن محله لو كنت تفهم، بل لو تأملتها لوجدتها في صلب الموضوع. أما أني سأفعل ما بدا لي، فنعم سأفعل. وهو أن أبقى في انتظار ردّك عليّ. وإلا فأنت منسحب من النقاش. أعلن أنك منسحب وأنك لا تفهم في هذه المباحث، وسأجيب عن كلامك بالتفصيل. هذان هما الخياران أمامك.

وما لجأت إلى هذا الأسلوب في الكلام إلا لأن كثرة الشرح مع أمثالك كقلته، فأردت أن أتبع أسلوب السؤال القصير والجواب القصير حتّى يتوضّح محل النزاع بيننا ويظهر تحقيق المسألة لك وللقراء، ولا تقوى على الهروب عن محل الكلام، لأنني حين أكتب كلاماً طويلاً فإن لك أسلوباً عجيباً في الالتفاف على الكلام والهروب عنه.

[هيثم عبدالحميد حمدان]

أقول وبكل أسف يا بلال: أنا لا أثق بكم، وتحرير جلال لمشاركتي الأخيرة في موضوع بين سني وحشوي زهدني في النقاش معك. ولا أستبعد أن تتصيّد الأخطاء والزلات وأن ينحرف النقاش إلى هل ط تساوي ط أم لا؟!

وأنت سألتني: "هل تستطيع أن تجيب أم لا تستطيع؟"، وأنا قلت: "لن أجيبك". فماذا تريد بعد أن أجبتك على سؤالك؟! والذي أراه أنه لا داعي للمناظرات لا الصغيرة ولا الكبيرة. أذكر ما عندك -إذا أردت- وأنا سأذكر ما عندي. ولولا أنني طالب للحق لما لجأتُ إلى شخص آخر لسؤاله حول هذه المسألة.

ولا أدري ما وجه فتح منتدى خاص بالمناظرات مع المخالف ثم شطب كلامه يمنة ويسرة، مع أن في كلامك ما هو أسوأ بكثير.

[بلال النجار]

بسم الله الرحمن الرحيم

لا والله يا هيثم ما أنت طالب للحق، ولو أني قلت لك ما عندي لما سلّمته، فأريدك أن تجيب أنت بلسانك وألزمك من قولك، لأني لو قلت كلامي ابتداء لرفضته، وأما إذا كان كلامي هو عين جوابك فلن تستطيع أن تتهرب منه.

وأما أنني أريد أن أحول النقاش وأن أحرفه عن محله فلا والله ما أريد ذلك. ولعمري إن القراء لهم عقول، فإذا حرفت الكلام فيمكنك أن تلزمني بذلك بسهولة، وتبيّنه للقراء.

ولكنك تخشى أن يظهر الحق، وأن يظهر غلطك في هذه المسألة إذا أجبتني، هذا إذا كنت تعرف ما تقول الرياضيات في هذه المسألة.

أجب عن الأسئلة الثلاثة الثتي سألتكها إن كنت تطلب الحق فعلاً. ثم إني لا أسألك عن رأيك، أنا أسألك عن شيء متقرر في الرياضيات، ومعروف للدارسين، ولكني أريدك أن تجيب عنه بقلمك أنت وتكتبه وأنت مقتنع به، لأبني عليه برهان التطبيق خطوة خطوة بخطوات مسلّمة في الرياضيات، لا يستطيع عاقل إنكارها.

ثم بعد ذلك أبين أين وقع منك الغلط في رسالتك الأخيرة. فلا توارب إن كنت طالباً للحق فعلاً. وأنا على يقين أن هذه هي الطريقة الوحيدة التي تنفع معك.
واما أنه يشطب من كتاباتك شيء، فأنا لا علم لي بشيء من ذلك، وكل ما أعرفه أن ما يشطب يرسل إلى خارج السرب، ويستبدل مكانه بما يشير إلى شطبه من خط أحمر أو ما شابه، وما اعرفه أن ما يشطب يكون مخالفاً لشروط المنتدى. والله تعالى أعلم. وهو حسبي ونعم الوكيل

[جلال علي الجهاني]

يا هيثم سياسة المنتدى أوجبت حذف كلامك غير اللائق، والخارج عن آداب البحث والمناظرة، مع الاحتفاظ به من أجل إقامة الحجة على الناس وحفظ حقوقهم فيما يكتبون في قسم: خارج السرب..

ولم أقم بحذف أي شيء من كلامك المفيد في موضوع البحث، وإذا نسيت فانظر مشاركتك في خارج السرب

[هيثم عبدالحميد حمدان]

بقدر ما أنت واثق من أنك لو قلت كلامك ابتداء لرفضتُه، ومن أني أخشى أن يظهر الحق ويظهر غلطي، ومن أنك على يقين أن هذه هي الطريقة الوحيدة التي تنفع معي: فإنني -في المقابل- واثق في أنك ستحرّف النقاش إلى أمور فرعية، وواثق في أن المشرف سيحذف من مشاركاتي ويشوهها بحجة مخالفة قوانين المنتدى. سبحان الله! سبابك وشتمك وسوقيتك أليس مخالفاً لشروط المنتدى؟!

ثم إنك أظهرت سوء نيتك بقولك إنك ستصوّر كلامي وتنشره في المنتديات، ومن قبل قلت إنك تريد تسجيل صوتي وفضحي! فأي ثقة تبقى عندي لك.

والمسألة منتهية بالنسبة لي فلماذا أضيع فيها المزيد من الوقت؟! لقد ثبت بطلان دليل التطابق ولله الحمد. فإن لديك شيء فهاته أو أنه النقاش ولا تضع وقتي أكثر من ذلك.

[جلال علي الجهاني]

لا شك أن هذا مبلغك من العلم أخي هيثم، وإلا فرأيك في إبطال دليل التطابق ليس صحيحاً من وجهة نظري أنا، وأظن كل قارئ للمكتوب من الكلام المنشور في هذه المشاركة لا يصل إلى ما وصلت إليه أنت، لكن لك الحق أن تعتقد ما تشاء، دون أن تقرره بشكل مطلق من أجل إيهام القارئ بقوة حجتك، فقوة الحجة لا تأتي من التهويل..