اللبنات الأولى لنظرية الفئات التي إقترحها جورج كانتور.
1. سننظر إلى أحوال الرياضيات العامَّة قبل جورج كانتور و التي دفعت به إلى التَّفكير في بناء نظريته. كان قبله الرِّياضياتي الفرنسي الشَّهير « Fourier » الذي صَحِب الملك الفرنسي "نابليون" في حملته إلى مصر. بل و كان من مستشاري المجمع العلمي المصري الذي أنشيء بين أعوام 1798-1801. و أظن أنه قد وقعت لقاءات بينه و بين المنطقي و الرياضياتي المصري حسن العطار، هذا الأخير الذي حرص على الاستزادة مما عند الفرنسيين من علوم في المجالات المختلفة و بالخصوص في الرياضيات. ) أودُّ من المشتغلين بالتنقيب في التُّراث أن يَنظروا لنا آثاره في علوم الرياضيات.(
2. نرجع فنقول أنَّ « Fourier » إهتمَّ بموضوعة رياضياتية أثَّرت في الرِّياضيات من بعده. و هي البحث عن الشُّروط التي تَجْعلُ دالة دورية نرمز لها ب "f". (أنظر مثال الدالة الدَّورية أسفله)
تُكتبَ على شكل متوالية مُثلَّثية. أي التَّعبير على الدالة "f" على الشَّكل التَّالي
بحيث
و هذه الأخيرة تسمى تحولات فوريي. قدَّمها عام 1807م.
3.بدأ الرِّياضياتيون يهتمون بهذه الدوال و يَبْحَثون في الشُّروط التي تضمن ذلك، لما لها من إستعمالات في المجالات الفزيائية المتعدِّدة. في عام 1870م قدَّم جورج كانتور البرهان على القضية التالية:
إذا كان لدينا:
فإنَّ :
c_n=0
مهما يكن n
عَوَّض في بعض بحوثه ذلك الشَّرط الموجود في مُقدِّمة هذه القضية بقوله أنَّ النُّقط التي لا تَؤول فيها تلك المتوالية إلى الصِّفر عددهم مُتناهٍ. و استطاع أيضاً أن يُبرهن عليها. هُنا فكَّر في تَعويض هذا الشَّرط أيضاً فبدل أنَّ عدد تلك النقاط مُتناهٍ قال : ماذا لو كانت تلك النِّقاط لا مُتناهية. فاستطاع أن يُبرهن على صحَّة القضية لفئة من المجموعة اللامتناهية القابلة للعد أي من جنس فئة الأعداد الصَّحيحة الطبيعية. هنا تساءل : هل جميع الفئات هي من جنس فئة الأعداد الصحيحة الطبيعية؟ أي بإمكاننا ربطها بهذه الفئة بدالة تَقابلية؟ فالنُّقطة المَفصلية التي وقع عليها أنَّه لا يُمكن فعل ذلك. نظراً لكوننا لو افترضنا حصول ذلك مثلا مع فئة الأعداد اللاجذرية وقعنا في تناقض.
و بعدما وجد البرهان المنسوب إليه استطاع أن يبني نظريته باستعماله في البرهان مثلاً على أن أي فئة لا تُقابل مجموعة أجزائها.
2. نرجع فنقول أنَّ « Fourier » إهتمَّ بموضوعة رياضياتية أثَّرت في الرِّياضيات من بعده. و هي البحث عن الشُّروط التي تَجْعلُ دالة دورية نرمز لها ب "f". (أنظر مثال الدالة الدَّورية أسفله)
تُكتبَ على شكل متوالية مُثلَّثية. أي التَّعبير على الدالة "f" على الشَّكل التَّالي
بحيث
و هذه الأخيرة تسمى تحولات فوريي. قدَّمها عام 1807م.
3.بدأ الرِّياضياتيون يهتمون بهذه الدوال و يَبْحَثون في الشُّروط التي تضمن ذلك، لما لها من إستعمالات في المجالات الفزيائية المتعدِّدة. في عام 1870م قدَّم جورج كانتور البرهان على القضية التالية:
إذا كان لدينا:
فإنَّ :
c_n=0
مهما يكن n
عَوَّض في بعض بحوثه ذلك الشَّرط الموجود في مُقدِّمة هذه القضية بقوله أنَّ النُّقط التي لا تَؤول فيها تلك المتوالية إلى الصِّفر عددهم مُتناهٍ. و استطاع أيضاً أن يُبرهن عليها. هُنا فكَّر في تَعويض هذا الشَّرط أيضاً فبدل أنَّ عدد تلك النقاط مُتناهٍ قال : ماذا لو كانت تلك النِّقاط لا مُتناهية. فاستطاع أن يُبرهن على صحَّة القضية لفئة من المجموعة اللامتناهية القابلة للعد أي من جنس فئة الأعداد الصَّحيحة الطبيعية. هنا تساءل : هل جميع الفئات هي من جنس فئة الأعداد الصحيحة الطبيعية؟ أي بإمكاننا ربطها بهذه الفئة بدالة تَقابلية؟ فالنُّقطة المَفصلية التي وقع عليها أنَّه لا يُمكن فعل ذلك. نظراً لكوننا لو افترضنا حصول ذلك مثلا مع فئة الأعداد اللاجذرية وقعنا في تناقض.
و بعدما وجد البرهان المنسوب إليه استطاع أن يبني نظريته باستعماله في البرهان مثلاً على أن أي فئة لا تُقابل مجموعة أجزائها.
تعليق